Cтраница 3
Это было установлено в лемме 7.4 работы / 9 / для конкретных представлений группы SU ( 2) и алгебры кватернионов; общий случай рассматривается аналогично. [31]
Алгебра, определяемая соотношением (16.3) для этого представления, некоммутативна, несмотря на абелеву природу группы; это - алгебра комплексных кватернионов. [32]
Над полем действительных чисел существуют лишь три ассоциативные алгебры с делением: само поле действительных чисел, поле комплексных чи-юел и алгебра кватернионов. Доказательство этого утверждения не очень просто, и мы не будем на нем останавливаться. В силу теоремы Веддербарна отсюда вытекает, что каждая простая алгебра над полем действительных чи-сел изоморфна алгебре матриц подходящего порядка либо над полем действительных чисел, либо над полем комплексных чисел, либо над алгеброй кватернионов. [33]
Группой кватернионов называется подмножество ( е, i, , k, - e, -, - /, - k алгебры кватернионов ( сй § I гл. Проверить, что эти восемь элементов действительно образуют группу относительно умножения. [34]
Гиперкэлерова структура ( на 4п - мерном вещественном многообразии) состоит из трех комплексных структур /, J, К, удовлетворяющих соотношениям для образующих алгебры кватернионов Н, и такой метрики Дирака, , что соответствующие кососка-лярные произведения Wj, wj, ( йд замкнуты. [35]
Известно, что существуют ( мнимые) циклические поля сколь угодно высокой степени, в которых - 1 разлагается в сумму трех ( и даже двух) квадратов. Такие поля являются полями разложения для алгебры кватернионов, притом минимальными в том смысле, что всякое подполе такого поля уже не является полем разложения для алгебры кватернионов. Но в вещественных полях - 1 не может быть представлена как сумма квадратов. [36]
Эта алгебра всегда альтернативна и проста. О не имеет ненулевых решений в алгебре кватернионов. [37]
Алгебра Ли этой группы совпадает с алгеброй чисто мнимых кватернионов, поэтому калибровочный потенциал на К4 задается гладкой I-формой на ( Н, коэффициенты которой являются чисто мнимыми кватернионами. [38]
Над полем комплексных чисел С это многообразие изоморфно проективной прямой РД. В приведенном выше примере конике Q соответствует алгебра обычных кватернионов. [39]
Здесь t / - Т - Можно проверить, что если под произведением понимать обычное матричное умножение, то введенная ранее таблица умножения ортов оказывается выполненной. Кроме того, выполненными оказываются и все остальные аксиомы алгебры кватернионов. [40]
Одна из них изоморфна D - группе симметрии квадрата. Другая некоммутативная группа - Я8 может быть описана при помощи алгебры кватернионов ( пример 5 § 8): она состоит из 1, i, /, k, - 1, - t, - /, - k, умножаемых как кватернионы. [41]
Для того чтобы векторное пространство превратить в алгебру, таблица умножения ортов может выбираться произвольно. Та конкретная таблица, которая предложена выше, обладает уникальным свойством: она и только она позволяет во введенной алгебре кватернионов построить деление, т.е. определить операцию, обратную введенной операции умножения. [42]
Таким образом, алгебры кватернионов являются простыми центральными алгебрами. В § 13.1 мы покажем, что любая четырехмерная центральная простая алгебра над полем F характеристики 2 является алгеброй кватернионов. Набросок доказательства этого факта содержится в упр. [43]
Разъяснив некоторые понятия и обозначения, мы знакомим читателя с групповыми алгебрами, алгебрами эндоморфизмов, матричными алгебрами и алгебрами кватернионов. По ходу изложения мы сделаем небольшое отступление, содержащее краткие указания на связь между алгебраической геометрией и теорией конечномерных алгебр над полями. [44]
Известно, что существуют ( мнимые) циклические поля сколь угодно высокой степени, в которых - 1 разлагается в сумму трех ( и даже двух) квадратов. Такие поля являются полями разложения для алгебры кватернионов, притом минимальными в том смысле, что всякое подполе такого поля уже не является полем разложения для алгебры кватернионов. Но в вещественных полях - 1 не может быть представлена как сумма квадратов. [45]