Cтраница 3
Возникает, однако, вопрос: каковы те алгебры, которые являются алгебрами многочленов на каких-либо аффинных многообразиях. [31]
К) имеет конечный тип и является тензорным произведением полиномиальной алгебры и некоторой алгебры срезанных многочленов. [32]
Свободную алгебру Ли со свободной системой образующих любой мощности можно построить как факторалгебру алгебры неассоциативных многочленов по некоторому идеалу, который строится по тождествам, определяющим класс алгебр Ли. Ниже дается другая конструкция свободной алгебры, описывающая заодно ее универсальную обертывающую алгебру. [33]
Таким образом, любая алгебра, имеющая конечное число образующих, является гомоморфным образом алгебры некоммутативных многочленов. В этом смысле алгебры некоммутативных многочленов играют в теории некоммутативных алгебр такую же роль, как алгебры коммутативных многочленов в коммутативной алгебре или свободные модули в теории модулей. [34]
На случай произвольного основного поля Р могут быть перенесены и некоторые из изложенных выше разделов алгебры многочленов. Предварительно необходимо, однако, придать точный смысл понятшо многочлена над произвольным полем. [35]
Она является следствием аргумента принципа, и из нее в свою очередь получается основная теорема алгебры многочленов. [36]
Важным выводом из задачи 16 является то, что алгебра многочленов на многообразии MXN определяется алгебрами многочленов на многообразиях М и N и, значит, не зависит от их вложений в аффинные пространства. [37]
Вопрос о возможности того или иного геометрического построения с помощью циркуля и линейки относится скорее к алгебре многочленов, чем к теометрии. [38]
Таким образом, преобразование Лапласа устанавливает определенное соответствие между алгеброй дифференциальных операторов вида ( 17) и алгеброй многочленов от комплексного переменного. На этом факте, в частности, основан так называемый операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. [39]
Хотя при счете нулей каждой функции предложение относительно степени не учитывает бесконечных корней ( в этом состоит точка зрения, алгебры многочленов), мы все же будем учитывать и бесконечные корни для получения нулевых пределов при х, стремящемся к бесконечности. [40]
В этой же главе приводится доказательство теоремы Бергмана о централизаторах элементов свободной алгебры ( централизатор нескалярного элемента свободной алгебры изоморфен алгебре многочленов от одной переменной), использующее различные гомоморфизмы свободной алгебры в алгебру многочленов. Что касается других связей излагаемой теории, то уже из беглого просмотра книги можно заметить, что в ней систематически используются теория решеток для изучения разложений элементов на множители и различные сведения и методы ( в том числе гомологические) из теории модулей. [41]
Причины, по которым те или иные задачи объединены в один цикл, могут быть различными; иногда это общность методов и постановок вопросов ( таков цикл Алгебра многочленов), иногда - внешнее сходство условий задач; иногда специальный цикл составляют задачи смешанного содержания, почти не связанные между собой. Некоторые циклы состоят из задач, связанных настолько тесно, что их естественно решать подряд ( таков, например, цикл Перестановки цифр в числе); эти циклы задач могут служить темой специальных занятий математических кружков. Особо следует отметить последние три цикла задач этой книги, представляющие определенный теоретический интерес. Иногда циклы задач можно естественно разбить на части, различающиеся по методам решения и условиям; эти части циклов отделяются одна от другой черточками. [42]
Причины, по которым те или иные задачи объединены в один цикл, могут быть различными: иногда это общность методов и постановок вопросов ( таков, например, цикл Алгебра многочленов), иногда - внешнее сходство условий задач; иногда специальный цикл составляют задачи смешанного содержания, почти не связанные между собой. Иногда циклы задач можно естественно разбить на части, различающиеся по методам решения и условиям; эти части циклов отделяются една от другой черточками. Следует отметить, что названия циклов часто являются условными и передают только их общее содержание: для многих задач невозможно точно определить, к какому циклу их следует отнести. [43]
В этой же главе приводится доказательство теоремы Бергмана о централизаторах элементов свободной алгебры ( централизатор нескалярного элемента свободной алгебры изоморфен алгебре многочленов от одной переменной), использующее различные гомоморфизмы свободной алгебры в алгебру многочленов. Что касается других связей излагаемой теории, то уже из беглого просмотра книги можно заметить, что в ней систематически используются теория решеток для изучения разложений элементов на множители и различные сведения и методы ( в том числе гомологические) из теории модулей. [44]
Таким образом, любая алгебра, имеющая конечное число образующих, является гомоморфным образом алгебры некоммутативных многочленов. В этом смысле алгебры некоммутативных многочленов играют в теории некоммутативных алгебр такую же роль, как алгебры коммутативных многочленов в коммутативной алгебре или свободные модули в теории модулей. [45]