Cтраница 3
Следствие 2.4. Изоморфные центральные простые подалгебры В и В любой алгебры А сопряжены. [31]
Доказательство, а) Покажем вначале, что в любой алгебре левый ( правый) делитель нуля не может быть правым ( левым делителем единицы. [32]
Напомним, что многообразие М называется конгруэнц-униформ-ным, если для любой алгебры А из Л4, любой конгруэнции 0 алгебры Л и любых элементов а, 6 из Л мощности классов 0-эк-вивалентности а / 9 и 6 / 0 совпадают. [33]
Если сигнатура многообразия 9Л содержит групповые операции, то конгруэнции любой алгебры из 9JI перестановочны. [34]
Класс всех алгебр типа 2 называется классом группои-дов, т.е. группоидом называется любая алгебра с одной бинарной операцией. [35]
Но, в конце концов, вовсе не обязательно, чтобы правила любой алгебры совпадали с правилами алгебры обычных чисел. Коль скоро имеются определенные правила, по которым следует производить операции над символами, не так уж важно, откуда взялись эти правила. [36]
Третье определение основано на том, что в множестве всех простых двусторонних идеалов любой алгебры можно ввести так называемую топологию Джекобсона. [37]
Пусть - некоторый класс алгебр над ассоциативно-коммутативным кольцом Ф, содержащий вместе с любой алгеброй все ее идеалы и гомоморфные образы. В частности, если Ф Z, то является классом колец. [38]
Этот пример достаточно общий, так как по теореме Пуанкаре - Биркгофа - Витта любая алгебра Ли над полем изоморфна подалгебре алгебры А ( для подходящей ассоциативной алгебры А. [39]
Этот пример достаточно общий, так как по теореме Пуанкаре - Биркго-фа - Витта любая алгебра Ли над полем изоморфна подалгебре алгебры Л ( - для подходящей ассоциативной алгебры А. [40]
В частности, в категории Ц ииее-гся прашй нуль - одноэлементная ачгебра, которая является оконорфным образом любой алгебры. [41]
Теорема Фробениуса т умюжения Основное поле / С играет при этом роль единицы, поскольку А К - А для любой алгебры А. Наконец, теорема 3.1 показывает, что обратная алгебра А, действительно, с точностью до матриц является обратной к алгебре А в смысле этой операции Все это позволяет определить на множестве классов изоморфизма центральных тел структуру группы следующим образом. [42]
Алгебры й-слов свободны в классе всех алгебр сигнатуры Q в следующем смысле: всякое отображение ф множества образующих X в любую алгебру G сигнатуры Q можно продолжить, притом единственным образом, до гомоморфизма ф алгебры Q-слов F ( X) в алгебру G. Единственность построенного нами гомоморфизма следует из единственности записи всякого слова через элементы алфавита X и символы нульарных операций. [43]
Алгебра А сигнатуры Q называется абелевой ( в различных частных случаях употребляются многие другие названия), если гомоморфизмы в нее любой алгебры этой же сигнатуры суммируемы. [44]
Чтобы убедиться в том, что алгебра слов данной сигнатуры инициальна, необходимо доказать, что из нее существует гомоморфизм в любую алгебру этой сигнатуры и что такой гомоморфизм единствен. Существование гомоморфизма из алгебры слов в любую алгебру А данной сигнатуры подтверждается тем фактом, что любому ее терму можно сопоставить в А элемент носителя и именно тот элемент, который получается в результате вычисления терма. Поскольку в алгебре А каждому символу константы сопоставляется единственный элемент носителя, далее по индукции каждый терм алгебры слов отображается в единственный элемент носителя алгебры А, следовательно, гомоморфизм из алгебры слов в А единствен. [45]