Cтраница 4
Если алгебра А сигнатуры Q абелева, то определения ( 1) и ( 2) превращают множество всех гомоморфизмов в А любой алгебры G сигнатуры Q в алгебру этой же сигнатуры, - ( 1) задает все операции положительных арностей, а гомоморфизм фш из ( 2) отмечается нульарной операцией со; это алгебра гомоморфизмов G в А. Из определения операций над гомоморфизмами немедленно следует, что в алгебре гоморорфиз-мов любой алгебры G в абелеву алгебру А выполняются все тождества, выполняющиеся в А; в частности, эта алгебра сама будет абелевой. [46]
Если алгебра А сигнатуры Q абелева, то определения ( 1) и ( 2) превращают множество всех гомоморфизмов в А любой алгебры G сигнатуры Q в алгебру этой же сигнатуры - ( 1) задает все операции положительных арностей, а гомоморфизм фш из ( 2) отмечается нульарной операцией со; это алгебра гомоморфизмов G в А. Из определения операций над гомоморфизмами немедленно следует, что в алгебре гоморорфизмов любой алгебры G в абелеву алгебру А выполняются все тождества, выполняющиеся в А, в частности, эта алгебра сама будет абелевой. [47]
Алгебры fi - слов свободны в классе всех алгебр сигнатуры Q в следующем смысле: всякое отображение ф множества образующих X в любую алгебру G сигнатуры И можно продолжить, притом единственным образом, до гомоморфизма ф алгебры Q-слов F ( X в алгебру G. Единственность построенного нами гомоморфизма следует из единственности записи всякого слова через элементы алфавита X и символы нульарных операций. [48]
Таким образом, гомоморфизмы любой группы G ( легко проверить, что в качестве G здесь можно было бы взять не группу, а любую алгебру, однотипную с группой) в абелеву группу G составляет по сложению абелеву группу. В частности, эндоморфизмы абелевой группы G составляют по сложению, определяемому равенством ( 12), абелеву группу. Вместо с тем, в соответствии с § 3 они составляют полугруппу с единицей по умножению в смысле умножения преобразований. [49]