Cтраница 3
Тогда если группа G циклическая, то групповая алгебра FG имеет конечный тип. [31]
К - делитель порядка G, то групповая алгебра группы G над полем К не полупроста, и существуют не вполне приводимые К. Пусть k - локальное поле характеристики нуль, полное относительно нек-рого дискретного нормирования, К - конечное поле классов вычетов поля k с характеристикой р; К. [32]
Классическая теория представлений конечнсгй группы G использует комплексную групповую алгебру CG. Тем не менее многие результаты этой теории можно обобщить на представления над произвольным алгебраически замкнутым полем F, характеристика которого не делит порядок группы G. Эти числа являются степенями неприводимых представлений группы G T. Эти степени определяются структурой группы G, но простой формулы, выражающей их через элементарные инварианты группы G, не существует. [33]
В частности, представление G на самой групповой алгебре k [ О ] содержит одномерное представление на компоненте ket с тривиальным характером. [34]
Между коммутирующей алгеброй группы X и ее групповой алгеброй ( Х) над С существует прямая связь. Обратно, размерности простых составляющих в разложении А ( X) равны ( в подходящем порядке) кратностям неприводимых компонент представления X на V. В частности, если последнее представление не имеет кратных вхождений, что бывает во многих случаях ( и имеет место в рассматриваемой ситуации для нашей группы G типа Ft), то А ( X) разлагается на одномерные подалгебры и поэтому является на самом деле коммутативной алгеброй. [35]
Тогда если G - конечная группа, то групповая алгебра FG имеет конечный тип в том и только том случае, если силовские р-подгруппы группы G цикличны. [36]
Пусть F - поле характеристики р; обозначим групповую алгебру FG через А. [37]
Известно, что ядро неразложимого следа IP на групповой алгебре ч / L ooJ связанного с распределением т-примитивный идеал. [38]
В случае, когда - г - 91 - групповая алгебра локально компактной абелевой группы, С. [39]
При изучении конечных групп Т полезно рассматривать так называемые групповые алгебры или групповые кольца. Под групповой алгеброй понимают алгебру А над полем комплексных ( или вещественных) чисел и такое отображение 6 группы Т в А, что ( 1) Q ( tt) Q ( t) Q ( t) для произвольных элементов t и V группы Г, ( 2) О ( Г) порождает Л и ( 3) элементы 6 ( 0 линейно независимы в А. Эти условия обеспечивают взаимную однозначность отображения 6 и определяют А однозначно с точностью до изоморфизма. [40]
Рассмотрим теперь связь между представлениями группы G и представлениями ее групповых алгебр. Очевидно, что любое представление Т группы G в линейном пространстве над полем К продолжается до представления / C [ G ] и всякое невырожден ное представление / С [ G ] получается таким способом. Поэтому, как и для конечных групп, категория П ( 0, К) эквивалентна категории невырожденных К [ GJ-модулей. Однако ввиду большей сложности структуры Л [ G ] этот факт не играет такой роли, как в конечном случае. [41]
Короче говоря, / - представления группы G и представления групповой алгебры FG полностью взаимозаменяемы. [42]
Для доказательства ( с) и ( d) используем групповую алгебру C [ G ] и преобразование Фурье. [43]
Элементарная теория представлений говорит, что для всякой конечной группы Г комплексная групповая алгебра С [ Г ] полупроста, а значит, является прямой суммой матричных колец. Если группа Г Н абелева, то абелевым является и кольцо С [ Г ] С [ / / ], и тогда все эти матричные кольца одномерны. [44]
Что касается свободной группы, то мы дадим вначале конструкцию ее групповой алгебры. [45]