Cтраница 2
Понятия, определенные выше, оказываются очень удобными во многих разделах математики; в разделе, называемом гомологической алгеброй, в настоящее время ведутся широкие исследования специальных функторов и категорий. [16]
В последних параграфах появляются и более сильные средства, например, группы гомологии, хотя никаких знаний из гомологической алгебры при этом не потребуется. [17]
Книга будет полезна каждому математику, работающему в теории групп, теории модулей и колец, топологии, гомологической алгебре. [18]
Интерес к этому направлению связан, в частности, с тем, что, как выяснилось, ряд результатов гомологической алгебры и теории абелевых групп зависит от выбора аксиоматики теории множества. [19]
Из приведенного в книге материала эта теорема дает нам первый важный случай, когда доказательство без серьезного использования языка гомологической алгебры невозможно. [20]
Книга будет полезна каждому математику, работающему в теории групп, тес рии модулей и колец, топологии, гомологической алгебре. [21]
Читатель может попробовать сделать это самостоятельно, однако следует заметить, что в оригинальной работе [197] дальнейшее доказательство проведено в духе гомологической алгебры, с помощью так называемой спектральной последовательности Хохшильда - Серра. [22]
Так, теория многообразий имеет самые прямые применения в механике и теории дифференциальных уравнений; теория гомологии вышла из рамок топологии и развилась в важную самостоятельную дисциплину - гомологическую алгебру, получила приложения в алгебраич. Римана - Роха теорема), в теории эллиптич. Эти теоремы имеют смешанную теоретико-множественную и алгебраич. [23]
Метод спектральных последовательностей, впервые открытых Лере ( середина 1940 - х гг.) для непрерывных отображений и, в частности, для расслоений, имеет фундаментальное значение среди эффективных средств гомологической алгебры и позволяет, в частности, произвести далеко идущее вычисление гомологии ряда пространств, не, вникая детально в их геометрическую природу. [24]
Чтобы все это применять ( а как применять - об этом разговор и пойдет), нужно дать правильные ( это значит - работающие) функционально-аналитические варианты этих трех ключевых понятий гомологической алгебры: проективности, инъективности и плоскости. [25]
Свойство комплекса быть стягиваемым или замкнутого многообразия - гомеоморфным сфере 5 - становится алгоритмически нераспознаваемым для п 3 ( комплексы) и п 5 ( многообразия), как отметил С.П.Новиков в начале 1960 - х гг., используя конструкции гомологической алгебры, хотя для п 4 ответ также вряд ли положителен. Заметим, что проблема гомеоморфизма двумерных комплексов и проблема гомеоморфности трехмерного многообразия с краем стягиваемому, вероятно, разрешимы. Простейшие алгоритмические проблемы теории трехмерных замкнутых многообразий и узлов, по-видимому, также разрешимы, хотя пример задачи о распознавании тривиального узла ( выше) показывает, что, ввиду алгебраических сложностей теоретико-групповыми методами, несмотря на наличие критерия тривиальности узла, этот вопрос не удается завершить. [26]
Зарождение теории модулей над кольцом или алгеброй связано с теорией представлений. Однако с развитием гомологической алгебры выяснилось, что сама теория модулей составляет хорошую основу для построения структурной теории колец и алгебр. Это побуждает нас начать изложение с главы о модулях. Особое внимание уделено полупростым модулям, поскольку они приводят к полупростым алгебрам, основным строительным блокам всей теории алгебр. Наиболее существенные темы, обсуждаемые в этой главе - это ( 1) решетка подмодулей модуля, ( 2) лемма Шура, ( 3) характеризация полупростых модулей ( предложение 2.4), ( 4) строение полупростых модулей и теорема единственности, ( 5) внешняя характеризация конечно порожденных полупростых модулей. [27]
Определение сепарабельных алгебр использует понятия, которые были введены топологами при изучении многообразий. Замечательно, что идеи гомологической алгебры оказались столь плодотворными в теории колец. [28]
К изучению банаховых алгебр можно подходить с точки зрения классического функционального анализа - меры, аменабельность, ядерность. А можно и с точке зрения гомологической алгебры; надо рассматривать категории модулей, определив правильные аналоги понятий проективности, инъективности и плоскости. Синтез этих подходов приводит к доказательству неаменабельности алгебры мер на непрерывной локально компактной группе. [29]
Немного позже ( независимо) определение таких алгебраических объектов было предложено Д. К. Фаддеевым, исходя из алгебраической теории чисел. Эти объекты легли в основу так называемой гомологической алгебры, обобщенной Картаном, Эйленбергом, Серром, Гротендиком и др. на модули и более общие абелевы категории ( обобщения на разные категории градуированных Л - модулей использовались в аппарате стабильной алгебраической теории гомотопий - см. § 6, 7, 9 гл. [30]