Cтраница 3
Конечно, далеко не все они непосредственно связаны с гомологической алгеброй, но мне кажется, что то обстоятельство, которое особенно ярко было заметно на конгрессе, - а именно, что как общее количество, так и значительность работ в этих областях возросли в последние годы, - находится в связи с появлением идей гомологической алгебры. [31]
Тем не менее конструкция Бореля - Мура содержит в себе много ценного, ибо в ней сконцентрированы все основные идеи. В отличие от других, она позволяет свободно применять аппарат гомологической алгебры и теории пучков. С ее помощью могут быть определены гомологии с непостоянными коэффициентами, что очень существенно в некоторых приложениях. [32]
Теория цепных комплексов, конечно, изоморфна теории ко-цепных комплексов, поскольку одна из другой получается изменением знака у индексов. Цепные и коцепные комплексы очень важны в алгебраической топологии и гомологической алгебре; посвященные им разделы можно найти в большинстве учебников. [33]
Мне кажется особенно важным, что, несмотря на разнообразие конкретного материала, который здесь охвачен, можно все же говорить об одном направлении в математике, основывающемся на небольшом числе новых идей и понятий. Этой основой, которая связывает все это новое направление, является гомологическая алгебра. Такие понятия, как группы когомологий модулей и групп, спектральные последовательности и группы когомологий пучков, которых еще не существовало лет 10 - 15 назад, сейчас превратились в стандартный аппарат. [34]
Впрочем, в таком широком контексте комбинаторная алгебра включает в себя и гомологическую алгебру, и бурно развивающуюся компьютерную. Однако в узком смысле под комбинаторной алгеброй понимают, как правило, изучение алгебраических объектов, заданных образующими и соотношениями. [35]
Аддитивные, точные и абелевы категории. Большинство работ по точным и абелевым категориям связано с перенесением в теорию категорий гомологической алгебры. С можно рассматривать как подобъект некоторого инъективного объекта ( или фактор-объект некоторого проективного объекта), то на такие категории полностью обобщаются основные результаты о сателлитах и производных функторах ( см. А. [36]
XY на некоторой группе Г перестановок множителей, однозначно определяются группами гомологии полиэдра Y. Развитые в этой работе конструкции нашли дальнейшее глубокое применение в работах Дольда и Пуп-пе [117, 118] по гомологической алгебре, в которых строятся производные функторы любых неаддитивных функторов. [37]
Мы видим, что абелевы группы с конечным числом образующих довольно разнообразны по своим свойствам. Они достойны детального изучения хотя бы потому, что возникают естественным образом в геометрии, в топологии, в гомологической алгебре. Стоит еще добавить, что если G - произвольная конечно порожденная группа, а это обширный класс групп, то по теореме 5 из § 4 гл. G / G является абелевой группой с конечным числом образующих. [38]
Это свойство называется точностью функтора тензорного умножения. Как и точность функтора и5, оно нарушается в категориях модулей, и это нарушение служит важным объектом изучения в гомологической алгебре: ср. [39]
В этом отношении теория кобордизмов значительно превосходит обычные Zp-когомологий ( особенно для р 2) и почти не уступает им по эффективности вычислений соответствующих объектов из гомологической алгебры. [40]
Конечно, далеко не все они непосредственно связаны с гомологической алгеброй, но мне кажется, что то обстоятельство, которое особенно ярко было заметно на конгрессе, - а именно, что как общее количество, так и значительность работ в этих областях возросли в последние годы, - находится в связи с появлением идей гомологической алгебры. [41]
Дальнейшие импульсы к развитию теория пересечений получила в связи с возникновением алгебраической топологии ( многие конструкции которой она предвосхитила) и затем в связи с многомерным обобщением теоремы Римана - Роха. Сюда же относятся попытки обоснования теории пересечений при помощи методов локальной и гомологической алгебры. [42]
Эта чисто алгебраическая задача решена много лет назад. Решение известно под названием теоремы Кюннета. Доказательство этой теоремы можно найти во многих стандартных учебниках по гомологической алгебре, поэтому мы его не приводим; см., например), [ 8, гл. [43]
Характерной чертой современной математики является изучение математических объектов, вместе с отображениями этих объектов друг в друга, согласованными со структурой объектов. Обычно объекты и их отображения образует категорию. Именно поэтому теоретико-категорный язык с момента своего появления стал модным средством выражения результатов математических - исследований, тем более, что само рождение теории категорий связано с бурным развитием идей и методов гомологической алгебры. [44]
В § 1 настоящей главы излагаются общие свойства колец. В § 2 и § 3 рассматриваются вопросы, специфичные для ассоциативных и неассоциативных колец соответственно. Сравнительно мало внимания уделено кольцам и алгебрам Ли. При этом гомологическая алгебра изложена в минимальном объеме. В частности, практически не затронута / ( - теория. Наконец, в § 5 рассмотрены топологические, частично упорядоченные, дифференциальные, разностные, фильтрованные и градуированные кольца. Довольно мало внимания уделено модулям с дополнительной структурой. Рассмотрены также кольца, на которых действует некоторая группа. [45]