Cтраница 3
В этой главе мы изучим строение полной булевой алгебры, уделив главное внимание нормированным алгебрам как наиболее важным для приложений. [31]
Мы закончим этот параграф важной теоремой, которая в простых случаях позволяет устанавливать изоморфизм нормированных алгебр. [32]
Доказать, что каждая из этих функций задает в МП ( / С) структуру нормированной алгебры. [33]
Заменяя, если нужно, данную норму эквивалентной, можно всегда предполагать, что норма ж на нормированной алгебре У. [34]
Функции /, такие, что Nw ( f) Q, совпадают с ji - пренебрежимыми функциями, и ассоциированное факторпространство L1 w является нормированной алгеброй. [35]
В третьей части центральной является глава 12 Основные структуры математического анализа, в которой речь идет о линейных пространствах, о метрических пространствах ( в отличие от главы 3 первой части здесь моделями служат не точечные множества в конечномерном пространстве, а множества функций), о нормированных пространствах, о нормированных алгебрах и, наконец, о гильбертовых пространствах. Нормированные алгебры прилагаются к теории линейных операторов в нормированном пространстве; в частности, операционное исчисление аналитических функций в нормированной алгебре, примененное к алгебре линейных операторов, приводит к теоремам типа альтернативы Фред-гольма. Изучение линейного нормированного пространства ограниченных последовательностей и линейных функционалов в нем связывается с основными понятиями об обобщенных пределах и обобщенном суммировании рядов. [36]
В третьей части центральной является глава 12 Основные структуры математического анализа, в которой речь идет о линейных пространствах, о метрических пространствах ( в отличие от главы 3 первой части здесь моделями служат не точечные множества в конечномерном пространстве, а множества функций), о нормированных пространствах, о нормированных алгебрах и, наконец, о гильбертовых пространствах. Нормированные алгебры прилагаются к теории линейных операторов в нормированном пространстве; в частности, операционное исчисление аналитических функций в нормированной алгебре, примененное к алгебре линейных операторов, приводит к теоремам типа альтернативы Фред-гольма. Изучение линейного нормированного пространства ограниченных последовательностей и линейных функционалов в нем связывается с основными понятиями об обобщенных пределах и обобщенном суммировании рядов. [37]
Алгебра банахова - полная нормированная алгебра. [38]
В заключительной, восьмой главе мы рассматриваем группы автоморфизмов, затрагивая тем самым область, пограничную с эргодической теорией. Основное внимание уделяется проблеме существования инвариантной меры; дается также абстрактная характеристика важнейших нормированных алгебр. [39]
Магарам, которая в 1942 г. доказала некоторое эквивалентное утверждение); трансфинитная конструкция, примененная нами в доказательстве теоремы 1, восходит к ее работе. Теми же вопросами занимался А. Н. Колмогоров); принадлежащая ему формулировка теоремы о строении однородной нормированной алгебры близка к приведенной выше. [40]
Связь теории вероятностей с алгебрами Буля может быть положена в основу общего определения самого предмета этой науки. А именно, можно сказать, что теория вероятностей изучает совокупности объектов, образующие нормированную алгебру Буля, эти объекты называются событиями, а норма р ( А) события А называется вероятностью. [41]
Заметим еще, что то обстоятельство, что во всех приведенных выше примерах алгебра Буля задавалась как совокупность множеств, составленных из точек одного наибольшего множества, не является случайным - такое задание этой алгебры возможно во всех теоретико-вероятностных задачах. Исходя отсюда, можно даже с caMOi - начала считать основным объектом изучения теории вероятностей не нормированную алгебру Буля всевозможных событий, а некоторое полное множество элементарных событий, различные части ( подмножества) которого и отождествляются затем с событиями. Для того, чтобы сделать эти рассуждения вполне закопченными, надо только сопоставить еще подмножествам А нашего множества всех элементарных событий определенную норму р ( А) и перечислить основные требования ( аксиомы), которым должны удовлетворять сами рассматриваемые подмножества и их нормы, чтобы мы действительно имели нормированную алгебру Буля. Такой метод аксиоматического построения теории вероятностей ( предложенный в 1929 г. А. Н. Колмогоровым) обладает определенными преимуществами перед методом, изложенным выше в настоящем параграфе, при исследовании более сложных и тонких вопросов теории и поэтому он является в настоящее время наиболее распространенным; более подробное его изложение увело бы нас, однако, слишком далеко в сторону от нашей основной темы. [42]
Для решения поставленной задачи вводятся ограничения сложности, приводящие к корректным системам интегральных уравнений второго рода и нормированная алгебра операторов, упрощающая аналитическое определение корректирующих устройств. Наряду с непрерывными корректирующими устройствами рассматриваются дискретные, для которых находятся условия улучшения обусловленности систем уравнений и минимальный объем памяти. [43]
Пусть А - алгебра над недискретным коммутативным нормированным телом К; говорят, что норма р ( х) на А ( рассматриваемом как векторное пространство над К) согласуется с заданной в А структурой алгебры, если топология, определяемая ею в А, согласуется со структурой кольца алгебры А. Алгебра над К, наделенная структурой, определяемой нормой, согласующейся с ее структурой алгебры, называется нормированной алгеброй. [44]
В третьей части центральной является глава 12 Основные структуры математического анализа, в которой речь идет о линейных пространствах, о метрических пространствах ( в отличие от главы 3 первой части здесь моделями служат не точечные множества в конечномерном пространстве, а множества функций), о нормированных пространствах, о нормированных алгебрах и, наконец, о гильбертовых пространствах. Нормированные алгебры прилагаются к теории линейных операторов в нормированном пространстве; в частности, операционное исчисление аналитических функций в нормированной алгебре, примененное к алгебре линейных операторов, приводит к теоремам типа альтернативы Фред-гольма. Изучение линейного нормированного пространства ограниченных последовательностей и линейных функционалов в нем связывается с основными понятиями об обобщенных пределах и обобщенном суммировании рядов. [45]