Cтраница 4
Рассматриваемая как самостоятельная алгебра, подалгебра 0 может быть непрерывна, дискретна или содержать дискретную и непрерывную компоненты. Подчеркнем, что, как нетрудно показать на примерах, все три случая действительно могут реализоваться, независимо от того является ли исходная алгебра непрерывной или дискретной; так, бесконечная дискретная нормированная алгебра) содержит как дискретные, так и непрерывные подалгебры. [46]
Ото число называют абсолютной величиной элемента А или его нормой, а саму алгебру Буля в этом случае называют нормированной. В качестве примеров можно привести семейство плоских фигур, принадлежащих квадрату со стороной единица ( сам квадрат играет роль элемента / этой алгебры Буля), где за абсолютную величину или норму фигуры Л принята ее площадь, пли множество всех делителей не делящегося ни на какой квадрат целого числа N ( например, числа 30), где под нормой числа А понимается logNA ( в нашем случае log A); совокупность всех предложений математической логики также можно рассматривать как нормированную алгебру Буля, если условиться считать абсолютную величину ( норму) предложения равной 1, если это предложение истинно, и равной 0, если оно ложно. Примером нормированной алгебры Буля является и та алгебра событий, которая изучалась в § § 1 - 3; здесь роль абсолютной величины или нормы события А играет вероятность р ( А) этого события. [47]
Среди всех булевых алгебр наиболее важны для приложений те, которые обладают мерой. Такие алгебры, как уже упоминалось в главе I, называются нормированными; таковы, в частности, алгебры событий, изучаемые в классической теории вероятностей. Нормированным алгебрам в основном и посвящена настоящая глава; кроме того, здесь мы изучим родственный класс алгебр, удовлетворяющих введенному Л. В. Канторовичем условию регулярности. В этой главе рассматриваются только полные алгебры. [48]
Ото число называют абсолютной величиной элемента А или его нормой, а саму алгебру Буля в этом случае называют нормированной. В качестве примеров можно привести семейство плоских фигур, принадлежащих квадрату со стороной единица ( сам квадрат играет роль элемента / этой алгебры Буля), где за абсолютную величину или норму фигуры Л принята ее площадь, пли множество всех делителей не делящегося ни на какой квадрат целого числа N ( например, числа 30), где под нормой числа А понимается logNA ( в нашем случае log A); совокупность всех предложений математической логики также можно рассматривать как нормированную алгебру Буля, если условиться считать абсолютную величину ( норму) предложения равной 1, если это предложение истинно, и равной 0, если оно ложно. Примером нормированной алгебры Буля является и та алгебра событий, которая изучалась в § § 1 - 3; здесь роль абсолютной величины или нормы события А играет вероятность р ( А) этого события. [49]
Комплексные числа образует поле С. В С для всех элементов, кроме нуля, определено деление - операция, обратная умножению. Мы покажем в дальнейшем, что С есть единственная нормированная алгебра, являющаяся. [50]