Cтраница 2
R относительно функции w обладает трансфинитным слабым алгоритмом. [16]
Показать, что R обладает трансфинитным слабым алгоритмом и, следовательно, является правым FI-кольцом. Показать, что znR x R - - y R, и вывести отсюда, что решетка главных правых идеалов, содержащих x R, не является полной. [17]
Последний алгоритм во многих отношениях проще слабого алгоритма; например, его коммутативный аналог настолько прост, что никогда не считался заслуживающим изучения. Однако в некоммутативном случае он позволяет получить некоторую важную информацию о соотношениях в кольцах свободных степенных рядов, которую мы приводим в § 2.8. В последнем § 2.9 мы рассматриваем трансфинитный алгоритм; этот алгоритм полезен для построения односторонних контрпримеров. [18]
Рассмотрим теперь соотношения между кольцами со слабым алгоритмом и полу - Р1 - кольцами. [19]
ТЕОРЕМА 2.5. Произвольное фильтрованное кольцо со слабым алгоритмом является правым Fl-кольцом. [20]
Исследовать отрицательно фильтрованные - алгебры со слабым алгоритмом, не являющиеся связными. [21]
Показать, что любое кольцо с инверсным слабым алгоритмом имеет универсальное тело частных. [22]
Показать, что в кольце с трансфинитным слабым алгоритмом любой элемент наименьшей степени является обратимым, а любой элемент следующей за наименьшей степени является атомом. [23]
С другой стороны, кольцо с правым трансфинитным слабым алгоритмом не обязано быть левым FI-кольцом. Это показывают следующие примеры, которые одновременно дают примеры правых FI-колец, не являющихся левыми FI-кольцами. [24]
Этим доказано, что в R выполняется трансфинитный слабый алгоритм. [25]
Перед тем как перейти к применениям понятия инверсного слабого алгоритма, докажем следующие две леммы. Для получения наиболее сильных результатов мы будем предполагать в этих леммах, что исходное кольцо является полным. [26]
В; следовательно, алгебра В обладает слабым алгоритмом, что и утверждалось. [27]
ТЕОРЕМА 8.8. Пусть R-отрицательно фильтрованное кольцо с инверсным слабым алгоритмом. [28]
Обратно, если R - кольцо с инверсным слабым алгоритмом, X - слабый и-базис подкол ьца R 19 то каждый элемент из R представляется единственным образом в виде ( 8), удовлетворяющем тем же ограничениям, что и выше. [29]
Предположим теперь, что кольцо R обладает трансфинитным слабым алгоритмом; тогда любой его слабый оу-базис В должен быть - независимым. [30]