Cтраница 2
Нужно подчеркнуть, что арифметизация пространства и времени зависит от выбора системы отсчета и процессов измерения в ней. Используются различные системы отсчета, связанные с разными телами отсчета и снабженные разными системами координат. Обозначим одну из систем буквой К. [16]
Первый класс моделей основан на арифметизации алгоритмов. Предполагается, что любые данные можно закодировать числами, и как следствие - всякое их преобразование становится в этом случае арифметическим вычислением, алгоритмом в таких моделях есть вычисление значения некоторой числовой функции, а его элементарные шаги - арифметические операции. Последовательность шагов определяется двумя способами. [17]
Происходит, так сказать, арифметизация теории вероятностей. [18]
С другой стороны, метод арифметизации имеет и самостоятельное значение для приведения логических уравнений к алгебраическим в булевых переменных ( О, 1) и использования известных в алгебре методов решения - с учетом особенностей, позволяющих произвести некоторые упрощения. [19]
К счастью, нужное нам видоизменение этой арифметизации оказывается очень простым. [20]
Эту тенденцию современного развития математики можно назвать арифметизацией геометрии: геометрическая идея непрерывности оказывается сведенной к идее целых чисел. [21]
Обратите внимание, что А и Т ( арифметизация и трансляция) образуют пары, также как G и С ( Godel и Crick) Математической логике достается сторона пуринов, а молекулярной биологии - пиримидинов. [22]
Физическое измерение времени является лишь приближенным осуществлением такой идеальной арифметизации течения времени. Основанием физической арифметизации течения времени является видимое вращение небесного свода вокруг некоторой прямой, называемой осью мира. Равным углам поворота небесного свода мы приписываем равные промежутки протекшего времени. Промежуток времени, в течение которого небесный свод совершает одно обращение относительно Земли, носит название звездных суток. Звездные сутки являются исходной астрономической единицей времени. [23]
Случай несоизмеримости играет, как известно, в этой арифметизации, в этом стремлении выразить отношение двух отрезков числом особую роль. Его обработка как с теоретической, так и с педагогической стороны служила предметом многостороннего обсуждения и споров со времен Евклида и, можно сказать, вплоть до наших дней. Евклид сосредоточивает внимание на второй проблеме: он определяет не самое отношение, которое как число для него вовсе не существует, а только условия, при которых два отношения равны или не равны; для этого он и излагает своеобразную теорию пропорций. Даламбер также игнорирует первую проблему. Но он молчаливо всегда постулирует существование числа, выражающего отношение двух несоизмеримых значений одной и той же величины. Доказательство равенства несоизмеримых отношений он рекомендует всегда производить приведением к абсурду; Лежандр и Лакруа так это неизменно и выполняют. Лобачевский вообще не любит доказательств от противного; к этому приему он прибегает очень редко, скорее для сокращения рассуждения, чем для придания ему строгости. Его аналитический ум всегда ищет прямого доказательства каждой истины. [24]
Мы предполагаем знакомство с понятиями универсальной машины Тьюринга и арифметизации машин Тьюринга. Рассмотрим арифметизацию машин Тьюринга ( МТ), в которой каждое натуральное число х соответствует МТ. Мы предположим, что целые числа закодированы двоичным кодом. Возьмем универсальную машину Тьюринга Т и определим язык Я. [25]
Понятие числа дает возможность наблюдателю осуществить следующий шаг - арифметизацию пространства S и времени. Для этого он связывают с основным телом какую-либо систему координат, что позволяет определить положение каждой точки движущегося тела относительно основного тела при помощи трех координат этой точки. В механике в основном применяются следующие системы координат: правая декартова прямоугольная, цилиндрическая и сферическая. Разумно считать, что основное тело снабжено часами, при помощи которых с точностью до произвольного постоянного слагаемого можно определить моменты времени, соответствующие различным положениям в пространстве точек движущегося тела. Систему координат плюс часы называют системой отсчета. [26]
Замечу только, что главным источником парадоксов было то, что арифметизация бесконечных совокупностей проводилась более или менее интуитивно, вместо того, чтобы отчетливо формулировать, какой из двух принципов кладется в ее основу: принцип ли непрерывности или принцип прерывности. Первый соответствует предположению, что утверждение равенства двух величин лишено смысла, так как экспериментально равенство не может быть осуществлено абсолютно точно, а лишь с некоторой погрешностью; второй - напротив, имеет в виду величины, точное равенство между которыми допускает фактическую проверку; совокупность последних всегда исчислима, и они не могут быть все равновозможны. В каждом частном случае только опыт может и должен решить, которая из гипотез справедлива. [27]
Традиционные методы применения математического анализа и вычислительной техники обычно требовали на первом этапе предварительной арифметизации исследуемого процесса, другими словами, четкой математической постановки задачи. Второй этап обычно предполагает численный анализ сформулированной задачи. Применение вычислительных машин в этом случае ограничивается численной переработкой информации. Такой способ применения электронных вычислительных машин, однако, не всегда является плодотворным. Например, решение некоторых классов комбинаторных задач, которые характерны для ряда проблем оптимального экономического планирования и исследования операций, не удалось получить средствами современного математического анализа. [28]
Эги принципиальные соображения сами по себе, конечно, еще не дают никакого конкретного способа арифметизации. Но главная трудность заключается в том, что вообще заранее нельзя предвидеть, удастся ли математические соотношения, имеющие место в данной арифметической модели метаматематики, проследить настолько эффективно, насколько это требуется для наших применений; к тому же с этой арифметизацией мы должны связать еще и формализацию метаматематики. [29]
Две последовательные эры исследований по основаниям математики в девятнадцатом столетии, достигшие своего наивысшего развития в теории множеств и арифметизации анализа, сменились около 1900 г. новым кризисом и новой эрой, отмеченной господством программ Рассела и Уайтхэда, Гильберта и Брауэра. [30]