Cтраница 4
Перечень задач, для которых вычислительные формулы для получения точных решений не могут быть получены обычными математическими приемами, охватывает практически все задачи математического анализа. Разработка методов арифметизации задач, называемых численными методами, относится к вычислительной математике. [46]
Таким образом, выясняется в высшей степени примечательный факт, что два класса функций, первоначально описанные в разных терминах, а именно, класс тьюрингово вычислимых функций и класс рекурсивных функций, совпадают. В нашем случае арифметизация начинается с того, что с каждой конечной конфигурацией / ( машины ЭЛ сопоставляются четверка натуральных чисел s ( К), q ( К), т ( К), п ( К) - координаты этой конфигурации. Хорошо известно, сколь плодотворным является применение координатного метода в геометрии; он позволяет ( в рамках аналитической геометрии) применять к решению геометрических задач хорошо разработанные алгебраические и аналитические методы. При этом в каждой конкретной ситуации успех дела и простота решения в значительной мере за-писят от того, насколько удачно выбрана система координат. [47]
Таким образом, развитие, которое идеи Римана получили примерно за 35 лет ( с 1866 г. до начала текущего столетия), характеризуются двумя особенностями: во-первых, подавляющим преобладанием аналитических методов, а во-вторых, преобладанием геометрии Клейна и Ли над общим замыслом Римана На протяжении всего этого периода анализ служит геометрии. Это расцвет ее арифметизации, которая упирается, однако, в необычайную сложность аппарата, и руководящая идея тонет в море громоздких формальных вычислений. [48]
Гедель показал, что средств рекурсивной арифметики вполне достаточно для математического построения такой модели и для ее формализации. Используемый им метод арифметизации состоит в арифметическом имитировании линейного расположения знаков в формулах формализованной математики. Действительно, логическую и математическую символику мы всегда можем выбрать таким образом, чтобы расположение символов и переменных в формулах было строго линейным. [49]
До сих пор мы, как правило, избегали формализации количественных соотношений между переменными в логических задачах и учитывали их содержательно в процессе преобразования логических уравнений. Предлагаемый ниже метод арифметизации логических функций позволяет включить в систему уравнений наряду с логическими связями и количественные характеристики переменных. [50]
Лг) 0, где N - натуральное число, / - примитивно рекурсивная функция, следует ее выводимость. Эти условия выполняются для естественной арифметизации, но можно, не меняя алгорифмич. [51]